Perbezaan Antara Integral Riemann dan Lebesgue

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Integrasi adalah topik utama dalam kalkulus. Dalam pengertian Broder, integrasi dapat dilihat sebagai proses pembezaan terbalik. Semasa memodelkan masalah dunia sebenar, mudah untuk menulis ungkapan yang melibatkan derivatif. Dalam keadaan sedemikian, operasi integrasi diperlukan untuk mencari fungsi, yang memberikan derivatif tertentu.

Dari sudut lain, integrasi adalah proses, yang merangkumi produk fungsi ƒ (x) dan Δx, di mana Δx cenderung menjadi had tertentu. Inilah sebabnya, kami menggunakan simbol integrasi sebagai ∫. Simbol ∫ sebenarnya, apa yang kita peroleh dengan meregangkan huruf untuk merujuk kepada jumlah.

Riemann Integral

Pertimbangkan fungsi y = ƒ (x). Integral y antara a dan b, di mana a dan b tergolong dalam set x, ditulis sebagai _b∫^aƒ (x) dx = [F(x)]_a→b = F(b) - F(a). Ini dipanggil integral pasti fungsi tunggal yang bernilai dan berterusan y = ƒ (x) antara a dan b. Ini memberikan kawasan di bawah lengkung antara a dan b. Ini juga dipanggil Riemann Integral. Riemann Integral dicipta oleh Bernhard Riemann. Riemann integral fungsi berterusan adalah berdasarkan ukuran Jordan, oleh itu, ia juga ditakrifkan sebagai had jumlah Riemann dari fungsi. Untuk fungsi bernilai sebenar yang ditakrifkan pada selang tertutup, riemann integral fungsi berkenaan dengan partition x₁, x₂,..., x_n ditakrifkan pada selang [a, b] dan t₁, t₂,..., t_n, di mana x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 Untuk setiap i ε 1, 2, ..., n, jumlah riemann ditakrifkan sebagai σ_{i = o ke n-1} ƒ (t_i) (x_i+1 - x_i).

Lebesgue Integral

Lebesgue adalah satu lagi jenis integral, yang merangkumi pelbagai kes daripada Riemann Integral. Integral Lebesgue diperkenalkan oleh Henri Lebesgue pada tahun 1902. Integrasi Legesgue boleh dianggap sebagai penyebaran integrasi Riemann.

Mengapa kita perlu mempelajari integral yang lain?

Mari kita pertimbangkan fungsi ciri ƒ_{A (x) = 0 jika, x tidak ε a}^{1 jika, x ε a} pada set a. Kemudian gabungan linear fungsi ciri -ciri, yang ditakrifkan sebagai F(x) = σ a_iƒE_i(x) dipanggil fungsi mudah jika E_i boleh diukur untuk setiap i. Integral Lebesgue F(x) Lebih E dilambangkan oleh _E∫ ƒ (x) dx. Fungsinya F(x) tidak berintegrasi riemann. Oleh itu Lebesgue Integral adalah Rephrase Riemann Integral, yang mempunyai beberapa sekatan ke atas fungsi yang akan disepadukan.