Perbezaan antara acara yang saling eksklusif dan bebas

Peristiwa bebas vs yang saling eksklusif

Orang sering mengelirukan konsep peristiwa eksklusif bersama dengan acara bebas. Malah, ini adalah dua perkara yang berbeza.

Biarkan A dan B menjadi dua peristiwa yang berkaitan dengan percubaan rawak e. P (a) dipanggil "kebarangkalian a". Begitu juga, kita dapat menentukan kebarangkalian B sebagai p (b), kebarangkalian a atau b sebagai p (a∪b), dan kebarangkalian a dan b sebagai p (a∩b). Kemudian, p (a∪b) = p (a)+ p (b) -p (a∩b).

Walau bagaimanapun, dua peristiwa dikatakan saling eksklusif jika berlakunya satu peristiwa tidak menjejaskan yang lain. Dengan kata lain, mereka tidak dapat berlaku secara serentak. Oleh itu, jika dua peristiwa a dan b saling eksklusif maka a∩b = ∅ dan oleh itu, itu menunjukkan p (a∪b) = p (a)+ p (b).

Biarkan A dan B menjadi dua acara dalam ruang sampel s. Kebarangkalian bersyarat A, memandangkan B telah berlaku, dilambangkan oleh P (A | B) dan ditakrifkan sebagai; P (a | b) = p (a∩b)/p (b), dengan syarat p (b)> 0. (Jika tidak, ia tidak ditakrifkan.)

Acara A dikatakan bebas daripada peristiwa B, jika kebarangkalian yang berlaku tidak dipengaruhi oleh sama ada B telah berlaku atau tidak. Dalam erti kata lain, hasil peristiwa B tidak mempunyai kesan ke atas hasil peristiwa a. Oleh itu, p (a | b) = p (a). Begitu juga, B adalah bebas daripada A jika p (b) = p (b | a). Oleh itu, kita dapat menyimpulkan bahawa jika a dan b adalah peristiwa bebas, maka p (a∩b) = p (a).P (b)

Menganggap bahawa kubus bernombor dilancarkan dan duit syiling yang adil dibuang. Biarkan A menjadi acara yang memperoleh kepala dan B menjadi acara yang melancarkan nombor juga. Maka kita dapat menyimpulkan bahawa peristiwa a dan b adalah bebas, kerana hasilnya tidak mempengaruhi hasil yang lain. Oleh itu, p (a∩b) = p (a).P (b) = (1/2) (1/2) = 1/4. Oleh kerana p (a∩b) ≠ 0, a dan b tidak boleh saling eksklusif.

Katakan bahawa gandum mengandungi 7 guli putih dan 8 guli hitam. Tentukan acara A sebagai melukis marmar putih dan acara b sebagai melukis marmar hitam. Dengan mengandaikan setiap marmar akan diganti setelah mencatat warna, maka P (A) dan P (B) akan selalu sama, tidak kira berapa kali kita menarik dari gandum. Menggantikan guli bermaksud bahawa kebarangkalian tidak berubah dari menarik untuk menarik, tidak kira apa warna yang kita pilih pada cabutan terakhir. Oleh itu, peristiwa a dan b adalah bebas.

Walau bagaimanapun, jika guli ditarik tanpa pengganti, maka semuanya berubah. Di bawah anggapan ini, peristiwa a dan b tidak bebas. Melukis marmar putih pada kali pertama mengubah kebarangkalian untuk melukis marmar hitam pada cabutan kedua dan sebagainya. Dengan kata lain, setiap seri mempunyai kesan pada cabutan seterusnya, dan oleh itu cabutan individu tidak bebas.