Perbezaan antara ortogonal dan orthonormal

Orthogonal vs orthonormal

Dalam matematik, kedua -dua perkataan ortogonal dan orthonormal sering digunakan bersama dengan satu set vektor. Di sini, istilah 'vektor' digunakan dalam erti kata bahawa ia adalah elemen ruang vektor - struktur algebra yang digunakan dalam algebra linear. Untuk perbincangan kami, kami akan mempertimbangkan ruang produk dalaman - ruang vektor V bersama dengan produk dalaman [] ditakrifkan pada V.

Sebagai contoh, untuk produk dalaman, ruang adalah set semua vektor kedudukan 3 dimensi bersama dengan produk titik biasa.

Apa itu ortogonal?

Subset yang tidak terkawal S ruang produk dalaman V dikatakan ortogonal, jika dan hanya jika bagi setiap satu berbeza u, v dalam S, [u, v] = 0; i.e. produk dalaman dari u dan v sama dengan skalar sifar di ruang produk dalaman.

Sebagai contoh, dalam set semua vektor kedudukan 3 dimensi, ini bersamaan dengan mengatakan bahawa, untuk setiap pasangan vektor kedudukan yang berbeza p dan q dalam s, p dan q berserenjang antara satu sama lain. (Ingat bahawa produk dalaman dalam ruang vektor ini adalah produk dot. Juga, produk titik dua vektor adalah sama dengan 0 jika dan hanya jika kedua -dua vektor berserenjang antara satu sama lain.)

Pertimbangkan set S = (0,2,0), (4,0,0), (0,0,5), yang merupakan subset vektor kedudukan 3 dimensi. Perhatikan bahawa (0,2,0).(4,0,0) = 0, (4,0,0).(0,0,5) = 0 & (0,2,0).(0,0,5) = 0. Oleh itu, set S adalah ortogonal. Khususnya, dua vektor dikatakan ortogonal jika produk dalaman mereka adalah 0. Oleh itu, setiap sepasang vektor di Sadalah ortogonal.

Apa itu orthonormal?

Subset yang tidak terkawal S ruang produk dalaman V dikatakan orthonormal jika dan hanya jika S adalah ortogonal dan untuk setiap vektor u dalam S, [u, u] = 1. Oleh itu, dapat dilihat bahawa setiap set orthonormal adalah ortogonal tetapi tidak sebaliknya.

Sebagai contoh, dalam set semua vektor kedudukan 3 dimensi, ini bersamaan dengan mengatakan bahawa, untuk setiap pasangan vektor kedudukan yang berbeza p dan q dalam S, p dan q berserenjang antara satu sama lain, dan untuk masing -masing p dalam S, | p | = 1. Ini kerana keadaannya [p, p] = 1 mengurangkan ke p.p = | p || p |cos0 = | p |²= 1, yang bersamaan dengan | p | = 1. Oleh itu, diberi set ortogonal kita sentiasa boleh membentuk satu set orthonormal yang sepadan dengan membahagikan setiap vektor dengan magnitudnya.

T = (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1) adalah subset orthonormal set semua vektor kedudukan 3 dimensi. Sangat mudah untuk melihat bahawa ia diperoleh dengan membahagikan setiap vektor dalam set S, oleh magnitud mereka.

Apakah perbezaan antara ortogonal dan orthonormal?

• Subset yang tidak terkawal S ruang produk dalaman V dikatakan ortogonal, jika dan hanya jika untuk setiap yang berbeza u, v dalam S, [u, v] = 0. Walau bagaimanapun, ia adalah orthonormal, jika dan hanya jika keadaan tambahan - untuk setiap vektor u dalam S, [u, u] = 1 berpuas hati.
• Mana-mana set orthonormal adalah ortogonal tetapi tidak sebaliknya.
• Sebarang set ortogonal sepadan dengan set orthonormal yang unik tetapi set orthonormal mungkin sesuai dengan set ortogonal.