Perbezaan antara pembezaan dan derivatif

Pembezaan vs derivatif
 

Dalam kalkulus kebezaan, derivatif dan pembezaan berkait rapat, tetapi sangat berbeza, dan digunakan untuk mewakili dua konsep matematik penting yang berkaitan dengan fungsi.

Apa itu derivatif?

Derivatif fungsi mengukur kadar di mana nilai fungsi berubah apabila inputnya berubah. Dalam fungsi multi-variable, perubahan dalam nilai fungsi bergantung pada arah perubahan nilai pembolehubah bebas. Oleh itu, dalam kes sedemikian, arah tertentu dipilih dan fungsi dibezakan dalam arah tertentu. Derivatif itu dipanggil derivatif arah.  Derivatif separa adalah jenis derivatif arah khas.

Terbitan fungsi bernilai vektor f boleh ditakrifkan sebagai had [latex] \\ frac df d \\ boldsymbol u = \\ lim_ h \ to 0 \\ frac f (\\ boldsymbol x+h \\ Boldsymbol u)-f (\\ boldsymbol x) h [/latex] di mana sahaja ia wujud dengan baik. Seperti yang dinyatakan sebelum ini, ini memberi kita kadar peningkatan fungsi f di sepanjang arah vektor u. Dalam kes fungsi bernilai satu, ini mengurangkan definisi terkenal derivatif, [latex] \\ frac df dx = \\ lim_ h \\ to 0 \\ frac f (x+h) -f (x) h [/lateks]

Sebagai contoh, [latex] f (x) = x^3+4x+5 [/latex] di mana -mana dibezakan, dan derivatif adalah sama dengan had, [latex] \\ lim_ h \\ hingga 0 \\ frac (x+h)^3 +4 (x+h)+5- (x^3+4x+5) h [/latex], yang sama dengan [lateks] 3x^2 +4 [/lateks]. Derivatif fungsi seperti [lateks] e^x, \\ sin x, \\ cos x [/latex] ada di mana -mana sahaja. Mereka masing -masing sama dengan fungsi [lateks] e^x, \\ cos x, - \\ sin x [/latex].                                                                                

Ini dikenali sebagai derivatif pertama. Biasanya derivatif fungsi pertama f dilambangkan oleh f ⁽¹⁾. Sekarang menggunakan notasi ini, ada kemungkinan untuk menentukan derivatif pesanan yang lebih tinggi. [latex] \\ frac d^2 f dx^2 = \\ lim_ h \\ to 0 \\ frac f^(1) (x+h) -f) ^(1) (x) h [/lateks] adalah derivatif arah pesanan kedua, dan menandakan n^th Derivatif oleh f ⁽ⁿ⁾ untuk setiap n, [latex] \\ frac d^n f dx^n = \\ lim_ h \\ to 0 \\ frac f^(n-1) (x+h) -f^(n-1) (x) h [/latex], mentakrifkan n^th Derivatif.

Apa itu pembezaan?

Pembezaan adalah proses mencari terbitan fungsi yang berbeza. D-Operator dilambangkan oleh D mewakili pembezaan dalam beberapa konteks. Jika x adalah pemboleh ubah bebas, maka D ≡ ^d/_dx. D-Operator adalah pengendali linear, i.e. untuk mana -mana dua fungsi yang berbeza f dan g dan malar c, Berikutan sifatnya.

I.  D(f + g) = D(f) + D (g)

Ii.  D(cf) = CD(f )

Menggunakan pengendali D, peraturan lain yang berkaitan dengan pembezaan boleh dinyatakan seperti berikut. D(f g) = D(f ) g +f d(g) , D(^f/_g) = ^{[D(f ) g - f d(g)]}/_g² dan D(f  o g) = (D(f) o g) D (g).

Contohnya, apabila f (x) = x²dosa x dibezakan berkenaan dengan x Menggunakan peraturan yang diberikan, jawapannya ialah 2xdosa x -+ x²cosx.