Perbezaan antara terbitan dan perbezaan

Derivatif vs perbezaan
 

Dalam kalkulus yang berbeza, terbitan dan perbezaan fungsi berkait rapat tetapi mempunyai makna yang sangat berbeza, dan digunakan untuk mewakili dua objek matematik penting yang berkaitan dengan fungsi yang boleh dibezakan.

Apa itu derivatif?

Derivatif fungsi mengukur kadar di mana nilai fungsi berubah apabila inputnya berubah. Dalam fungsi multi-variable, perubahan dalam nilai fungsi bergantung pada arah perubahan nilai pembolehubah bebas. Oleh itu, dalam kes sedemikian, arah tertentu dipilih dan fungsi dibezakan dalam arah tertentu. Derivatif itu dipanggil derivatif arah.  Derivatif separa adalah jenis derivatif arah khas.

Terbitan fungsi bernilai vektor f boleh ditakrifkan sebagai had [latex] \\ frac df d \\ boldsymbol u = \\ lim_ h \ to 0 \\ frac f (\\ boldsymbol x+h \\ Boldsymbol u)-f (\\ boldsymbol x) h [/latex] di mana sahaja ia wujud dengan baik. Seperti yang dinyatakan sebelum ini, ini memberi kita kadar peningkatan fungsi f di sepanjang arah vektor u. Dalam kes fungsi bernilai satu, ini mengurangkan definisi terkenal derivatif, [latex] \\ frac df dx = \\ lim_ h \\ to 0 \\ frac f (x+h) -f (x) h [/lateks]

Sebagai contoh, [latex] f (x) = x^3+4x+5 [/latex] di mana -mana dibezakan, dan derivatif adalah sama dengan had, [latex] \\ lim_ h \\ hingga 0 \\ frac (x+h)^3 +4 (x+h)+5- (x^3+4x+5) h [/latex], yang sama dengan [lateks] 3x^2 +4 [/lateks]. Derivatif fungsi seperti [lateks] e^x, \\ sin x, \\ cos x [/latex] ada di mana -mana sahaja. Mereka masing -masing sama dengan fungsi [lateks] e^x, \\ cos x, - \\ sin x [/latex].                                                                                

Ini dikenali sebagai derivatif pertama. Biasanya derivatif fungsi pertama f dilambangkan oleh f ⁽¹⁾. Sekarang menggunakan notasi ini, ada kemungkinan untuk menentukan derivatif pesanan yang lebih tinggi. [latex] \\ frac d^2 f dx^2 = \\ lim_ h \\ to 0 \\ frac f^(1) (x+h) -f) ^(1) (x) h [/lateks] adalah derivatif arah pesanan kedua, dan menandakan n^th Derivatif oleh f ⁽ⁿ⁾ untuk setiap n, [latex] \\ frac d^n f dx^n = \\ lim_ h \\ to 0 \\ frac f^(n-1) (x+h) -f^(n-1) (x) h [/latex], mentakrifkan n^th Derivatif.

Apa itu perbezaan?

Pembezaan fungsi mewakili perubahan fungsi berkenaan dengan perubahan dalam pemboleh ubah atau pembolehubah bebas. Dalam notasi biasa, untuk fungsi tertentu f pemboleh ubah tunggal x, jumlah perbezaan pesanan 1 DF adalah Diberikan oleh, [latex] df = f^1 (x) dx [/latex]. Ini bermaksud bahawa untuk perubahan kecil dalam x(i.e. dx), akan ada  f ⁽¹⁾(x) dx perubahan dalam f.

Menggunakan had seseorang boleh berakhir dengan definisi ini seperti berikut. Anggapkan Δx adalah perubahan dalam x pada titik sewenang -wenang x dan Δf adalah perubahan yang sepadan dalam fungsi f. Dapat ditunjukkan bahawa Δf = f ⁽¹⁾(x) Δx+ ϵ, di mana ϵ adalah kesilapan. Sekarang, had Δx →0^Δf/_Δx= f ⁽¹⁾(x) (menggunakan definisi derivatif yang telah dinyatakan sebelum ini) dan oleh itu, Δx →0^ϵ/_Δx= 0. Oleh itu, adalah mungkin untuk menyimpulkan bahawa, Δx →0ϵ = 0. Sekarang, menandakan Δx →0 Δf sebagai df dan Δx →0 Δx sebagai dx Takrif perbezaannya diperoleh dengan ketat. 

Sebagai contoh, perbezaan fungsi [lateks] f (x) = x^3+4x+5 [/latex] adalah [latex] (3x^2 +4) dx [/latex].

Dalam kes fungsi dua atau lebih pembolehubah, jumlah perbezaan fungsi ditakrifkan sebagai jumlah pembezaan dalam arah setiap pembolehubah bebas. Secara matematik, ia boleh dinyatakan sebagai [latex] df = \\ sum_ i = 1^n \\ frac \\ partial f \\ partial x_ i dx_ i [/latex].