Perbezaan antara persamaan pembezaan linear dan bukan linear

Persamaan pembezaan bukan linear vs linear
 

Persamaan yang mengandungi sekurang -kurangnya satu pekali pembezaan atau terbitan pembolehubah yang tidak diketahui dikenali sebagai persamaan pembezaan. Persamaan pembezaan boleh sama ada linear atau tidak linear. Skop artikel ini adalah untuk menerangkan persamaan pembezaan linear, apakah persamaan pembezaan tak linear, dan apakah perbezaan antara persamaan pembezaan linear dan tidak linear.

Sejak perkembangan kalkulus pada abad ke -18 oleh ahli matematik seperti Newton dan Leibnitz, persamaan pembezaan telah memainkan peranan penting dalam kisah matematik. Persamaan pembezaan sangat penting dalam matematik kerana pelbagai aplikasi mereka. Persamaan pembezaan adalah di tengah -tengah setiap model yang kami usahakan untuk menerangkan sebarang senario atau peristiwa di dunia sama ada dalam fizik, kejuruteraan, kimia, statistik, analisis kewangan, atau biologi (senarai itu tidak berkesudahan). Malah, sehingga kalkulus menjadi teori yang mantap, alat matematik yang betul tidak tersedia untuk menganalisis masalah yang menarik dalam alam semula jadi.

Persamaan yang dihasilkan dari aplikasi kalkulus tertentu mungkin sangat kompleks dan kadang -kadang tidak dapat diselesaikan. Namun, ada yang dapat kita selesaikan, tetapi mungkin kelihatan sama dan mengelirukan. Oleh itu, untuk persamaan pembezaan pengenalan yang lebih mudah dikategorikan oleh tingkah laku matematik mereka. Linear dan nonlinear adalah salah satu pengkategorian seperti itu. Penting untuk mengenal pasti perbezaan antara persamaan pembezaan linear dan bukan linear.

Apakah persamaan pembezaan linear?

Sepatutnya begitu f: x → y dan f (x) = y, a persamaan pembezaan tanpa syarat tak linear fungsi yang tidak diketahui y dan derivatifnya dikenali sebagai persamaan pembezaan linear.

Ia mengenakan syarat bahawa y tidak boleh mempunyai istilah indeks yang lebih tinggi seperti y², y³,... dan gandaan derivatif seperti 

Ia juga tidak boleh mengandungi istilah bukan linear seperti dosa y, e^{y^-2}, atau ln y. Ia mengambil borang, 

di mana y dan g adalah fungsi x. Persamaan adalah persamaan perintah yang berbeza n, yang merupakan indeks derivatif pesanan tertinggi.

Dalam persamaan pembezaan linear, pengendali pembezaan adalah pengendali linear dan penyelesaiannya membentuk ruang vektor. Hasil daripada sifat linear set penyelesaian, gabungan linear penyelesaian juga merupakan penyelesaian kepada persamaan pembezaan. Iaitu, jika y₁ dan y₂ adalah penyelesaian persamaan pembezaan, maka C₁ y₁+ C₂ y₂ juga penyelesaian.

Linearity persamaan hanya satu parameter klasifikasi, dan ia dapat dikategorikan lagi menjadi persamaan pembezaan homogen atau bukan homogen dan biasa atau separa. Sekiranya fungsi itu g= 0 maka persamaan adalah persamaan pembezaan homogen linear. Jika f Adakah fungsi dua atau lebih pembolehubah bebas (f: x, t → y) dan f (x, t) = y , maka persamaan adalah persamaan pembezaan separa linear.

Kaedah penyelesaian untuk persamaan pembezaan bergantung kepada jenis dan pekali persamaan pembezaan. Kes paling mudah timbul apabila pekali tetap. Contoh klasik untuk kes ini adalah undang -undang gerakan kedua Newton dan pelbagai aplikasinya. Undang -undang kedua Newton menghasilkan persamaan pembezaan linear kedua dengan pekali tetap.

Apakah persamaan pembezaan bukan linear?

Persamaan yang mengandungi istilah tak linear dikenali sebagai persamaan pembezaan bukan linear.

Semua di atas adalah persamaan pembezaan tak linear. Persamaan pembezaan tak linear sukar untuk diselesaikan, oleh itu, kajian dekat diperlukan untuk mendapatkan penyelesaian yang betul. Sekiranya persamaan pembezaan separa, kebanyakan persamaan tidak mempunyai penyelesaian umum. Oleh itu, setiap persamaan harus dirawat secara bebas.

Persamaan Navier-Stokes dan Persamaan Euler dalam Dinamika Fluid. Kadang -kadang penerapan persamaan LaGrange ke sistem pembolehubah boleh mengakibatkan sistem persamaan pembezaan separa tidak linear.

Apakah perbezaan antara persamaan pembezaan linear dan tidak linear?

• Persamaan pembezaan, yang hanya mempunyai syarat linear pembolehubah yang tidak diketahui atau bergantung dan derivatifnya, dikenali sebagai persamaan pembezaan linear. Ia tidak mempunyai istilah dengan pemboleh ubah bergantung indeks lebih tinggi daripada 1 dan tidak mengandungi sebarang derivatifnya. Ia tidak boleh mempunyai fungsi tak linear seperti fungsi trigonometri, fungsi eksponen, dan fungsi logaritma berkenaan dengan pemboleh ubah bergantung. Sebarang persamaan pembezaan yang mengandungi istilah yang disebutkan di atas adalah persamaan pembezaan tak linear.

• Penyelesaian persamaan pembezaan linear mewujudkan ruang vektor dan pengendali pembezaan juga merupakan pengendali linear dalam ruang vektor.

• Penyelesaian persamaan pembezaan linear agak mudah dan penyelesaian umum wujud. Untuk persamaan tak linear, dalam kebanyakan kes, penyelesaian umum tidak wujud dan penyelesaiannya mungkin menjadi masalah khusus. Ini menjadikan penyelesaiannya lebih sukar daripada persamaan linear.