Perbezaan antara urutan aritmetik dan urutan geometri

Urutan aritmetik vs urutan geometri
 

Kajian corak nombor dan tingkah laku mereka adalah kajian penting dalam bidang matematik. Selalunya corak ini dapat dilihat dalam alam semula jadi dan membantu kita menerangkan tingkah laku mereka di sudut pandangan saintifik. Urutan aritmetik dan urutan geometri adalah dua corak asas yang berlaku dalam jumlah, dan sering dijumpai dalam fenomena semula jadi.

Urutan adalah satu set nombor yang diperintahkan. Bilangan elemen dalam urutan boleh menjadi terhingga atau tidak terhingga.

Lebih banyak mengenai urutan aritmetik (perkembangan aritmetrik)

Urutan aritmetik ditakrifkan sebagai urutan nombor dengan perbezaan malar antara setiap istilah berturut -turut. Ia juga dikenali sebagai perkembangan aritmetik.

Aritmetik sequnece ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄,..., a_n ; di mana a₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + D, dan sebagainya.

Sekiranya istilah awal adalah₁ dan perbezaan umum ialah d, maka n^th Istilah urutan diberikan oleh;

a_n = a₁ + (n-1) d

Dengan mengambil hasil di atas, n^th Istilah boleh diberikan juga sebagai;

a_n = a_m + (n-m) d, di mana a_m adalah istilah rawak dalam urutan seperti n> m.

Set nombor bahkan dan set nombor ganjil adalah contoh paling mudah dari urutan aritmetik, di mana setiap urutan mempunyai perbezaan yang sama (d) dari 2.

Bilangan istilah dalam urutan boleh sama ada tidak terhingga atau terbatas. Dalam kes tak terhingga (n → ∞), urutan cenderung kepada tak terhingga bergantung kepada perbezaan yang sama (a_n → ± ∞). Jika perbezaan biasa adalah positif (d> 0), urutan cenderung kepada infiniti positif dan, jika perbezaan biasa adalah negatif (d < 0), it tends to the negative infinity. If the terms are finite, the sequence is also finite.

Jumlah istilah dalam urutan aritmetik dikenali sebagai siri aritmetik: s_n= a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n = Σ_{i = 1 → n} a_i; dan s_n = (n/2) (a₁ + a_n) = (n/2) [2a₁ + (n-1) d] memberikan nilai siri (s_n).

Lebih banyak mengenai urutan geometri (perkembangan geometri)

Urutan geometri ditakrifkan sebagai urutan di mana quotient dari mana -mana dua istilah berturut -turut adalah malar. Ini juga dikenali sebagai perkembangan geometri.

Urutan geometri ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄,..., a_n; di mana a₂/a₁ = r, a₃/a₂ = r, dan sebagainya, di mana r adalah nombor sebenar.

Lebih mudah mewakili urutan geometri menggunakan nisbah biasa (r) dan istilah awal (a). Oleh itu urutan geometri ⇒ a₁, a₁r, a₁r², a₁r³,..., a₁r^n-1.

Bentuk umum n^th terma yang diberikan oleh a_n = a₁r^n-1. (Kehilangan subskrip istilah awal ⇒ a_n = ar^n-1)

Urutan geometri juga boleh menjadi terhingga atau tidak terhingga. Sekiranya bilangan istilah terhingga, urutan dikatakan terhingga. Dan jika istilah tidak terhingga, urutannya boleh menjadi tak terhingga atau terhingga bergantung pada nisbah r r. Nisbah biasa mempengaruhi banyak sifat dalam urutan geometri. 

N.B: Dalam semua kes di atas, a₁ > 0; sekiranya₁ < 0, the signs related to a_n akan terbalik.

Selang masa antara lantunan bola mengikuti urutan geometri dalam model yang ideal, dan ia adalah urutan konvergen.

Jumlah terma urutan geometri dikenali sebagai siri geometri; S_n = ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ = Σ_{i = 1 → n} arⁱ. Jumlah siri geometri dapat dikira menggunakan formula berikut.

S_n = A (1-Rⁿ )/(1-r); di mana a adalah istilah awal dan r adalah nisbah.

Sekiranya nisbah, r ≤ 1, siri ini menumpu . Untuk siri tak terhingga, nilai penumpuan diberikan oleh s_n = A/(1-R) 

Apakah perbezaan antara urutan/perkembangan aritmetik dan geometri?

• Dalam urutan aritmetik, mana -mana dua istilah berturut -turut mempunyai perbezaan yang sama (d) manakala, dalam urutan geometri, mana -mana dua istilah berturut -turut mempunyai kota yang berterusan (r).

• Dalam urutan aritmetik, variasi istilah adalah linear, i.e. Garis lurus boleh ditarik melalui semua mata. Dalam siri geometri, variasi adalah eksponen; Sama ada tumbuh atau merosot berdasarkan nisbah biasa.

• Semua urutan aritmetik yang tidak terhingga adalah berbeza, sedangkan siri geometri tak terhingga sama ada divergen atau konvergen.

• Siri geometri boleh menunjukkan ayunan jika nisbah r adalah negatif manakala siri aritmetik tidak memaparkan ayunan